Aleksandar Stankovič je synom Dejana Stankoviča, bývalého hráča Interu, ktorý odohral za nerazzurri takmer dekádu a bol súčasťou slávneho mužstva, ktoré pod vedením Joseho Mourinha získalo v roku 2010 cenný treble za triumf v Lige majstrov, Serie A i Talianskom pohári. V tíme vtedy pôsobil aj súčasný tréner Interu Cristian Chivu.
Stankovič junior je odchovanec Interu, prešiel v klube mládežníckymi kategóriami, no nikdy nenastúpil za tamojší A-tím. V roku 2024 ho milánsky klub poslal na hosťovanie do švajčiarskeho Luzernu.
O rok neskôr sa dohodol na dlhodobom kontrakte s FC Bruggy, kde na poste defenzívneho stredopoliara exceloval. Strelil deväť gólov a pridal päť asistencií vo všetkých súťažných zápasoch, pričom získal cenu pre najlepšieho mladého hráča belgickej ligy.
Inter tak pri prvej príležitosti siahol po možnosti Stankoviča spätne odkúpiť. Podľa talianskych médií predal srbského reprezentanta do Brúg za 10 miliónov eur, opcia na spätné odkúpenie v tomto roku mala hodnotu 23 miliónov eur a budúcoročná opcia by sa vyšplhala až na 25, ak by ju taliansky šampión aktivoval. Informáciu priniesla agentúra AP. Informoval o nej aj Fabrizio Romano.