Pospíšil má za sebou dve sezóny v prvom tíme Flames, ktoré ho draftovalo v roku 2018. V ročníku 2024/25 odohral 81 zápasov základnej časti, v ktorých nazbieral 25 kanadských bodov (4+21). Časť minulej edície odohral v prvej formácii. Jeho priemerný čas na ľade bol 13 minút a 48 sekúnd.
Je to o minútu viac ako v nováčikovskej sezóne 2023/24. V nej mal počas 63 duelov bilanciu osem gólov a šestnásť asistencií. Vo februári 2024 podpísal s Calgary dvojročný kontrakt s priemerným platom jeden milión dolárov. Táto zmluva mu bude platiť aj v nasledujúcom vydaní 2025/26. Po ňom sa mohol stať obmedzeným voľným hráčom.