Zielinski prišiel do Talianska v roku 2011 ako sedemnásťročný. Vtedy prestúpil zo Zaglebie Lubin do Udinese, pričom bol mládežníckym reprezentantom Poľska. Počas pôsobenia v Udine ho zapožičali do Empoli, kde jeho kariéra nabrala na obrátkach. Zielinski predvádzal veľmi dobré výkony, ktoré znamenali prestup do SSC Neapol za 16 miliónov eur.
Poľský stredopoliar pôsobí vo farbách aktuálneho talianskeho majstra od roku 2016. Za sedem rokov odohral za klub 350 zápasov, strelil 50 gólov a zaznamenal 46 asistencií. Jeho spoluhráčom je aj slovenský futbalista Stanislav Lobotka. V reprezentácii má v tejto chvíli na konte 86 vystúpení a 10 gólov.
Jeho zmluva s Neapolom vyprší 30. júna 2024 a vtedy sa stane voľným hráčom. Podľa informácií Santiniho si vybral Inter Miláno, s ktorým by mal podpísať zmluvu na dva roky s opciou na predĺženie o ďalšie dva.