Rodák z ontárijského mesta Cambridge nikdy nebol draftovaný, ale po vynechanej sezóne 2020/21 sa dostal až do organizácie Blue Jackets, pričom začínal v ECHL, cez AHL prenikol na chvíľu do pozície dvojky v profilige. Následne tri sezóny po sebe plnil pozíciu jednotky v Clevelande a zbieral prvé štarty medzi elitou.
Prelomová bola pre neho predošlá edícia, v ktorej sa stal prvou voľbou Columbusu, v základnej časti odchytal až 55 stretnutí. Priemerne inkasoval 2,6 gólu na zápas a mal 90,8 % úspešnosť zákrokov. Vďaka tomu sa dostal na MS, za osem stretnutí sa prezentoval veľmi dobrými číslami, lenže Kanadu k medaile nedotiahol.
Greaves sa po minulom ročníku ocitol v pozícii obmedzeného voľného hráča. Dlho sa nevedel s modrokabátnikmi dohodnúť na novej zmluve. Sám požadoval až 7,5 milióna dolárov na rok, pričom Columbus si ho cenil "iba" na 2,8 milióna USD. Preto bola na 23. júla naplánovaná arbitráž.
Obe strany však nakoniec našli dohodu tesne pred jej začiatkom a dohodli sa na spomínaných piatich miliónoch. V budúcej sezóne má byť znova jasnou voľbou číslo jedna, no v organizácii sa nachádza tiež skúsený Elvis Merzlikins. Ten vstupuje do posledného roku zmluvy za priemerne 5,4 milióna USD.