Kukumberg st. pôsobil v Slovane šesť sezón, z toho dve v KHL. Za tím odohral 326 zápasov, v ktorých zaznamenal 198 bodov a v oboch štatistikách patrí medzi 25 najlepších hráčov histórie klubu. V piatkovom dueli posledného 50. kola základnej časti sa na ľade symbolicky stretne so svojím synom Romanom, ktorý je odchovancom Slovana.

Kariéru v najvyššej slovenskej súťaži začal Kukumberg st. v Dukle Trenčín, s ktorou získal v roku 2004 majstrovský titul. Vo veku 24 rokov ho do NHL draftovalo Toronto Maple Leafs, v zámorí odohral jednu sezónu na farme Toronta. Neskôr hral v drese Ak Bars Kazaň a stal prvým slovenským hokejistom, ktorý vybojoval Gagarinov pohár.

V rokoch 2014 až 2019 pôsobil v českom Mountfield HK, s ktorým sa zakaždým prebojoval do play-off. Od ročníka 2020/2021 pôsobí v druholigovom HK Gladiators Trnava, v 40 zápasoch tejto sezóny si pripísal 18 bodov.