S futbalom začínal v skromnom tíme SC Enschede, odkiaľ sa ešte počas mládežníckych rokov presunul do neďalekého a slávnejšieho Twente. V holandskej Eredivisie debutoval počas sezóny 2003/04 pri výhre nad Willem II Tilburg 2:0, ale po troch rokoch a len štrnástich štartoch zmenil adresu, posilnil Heracles Almelo.
Prvé dva roky takisto zohrieval lavičku. Následne odišiel hosťovať do tímu Go Ahead Eagles a počas takisto dvoch ročníkov mu to vynieslo takmer osemdesiat zápasov medzi holandskou elitou. V roku 2010 sa vrátil do Heraclesu už ako jednotka tímu.
Nasledujúce štyri sezóny bol Pasveer oporou tohto mužstva, ktoré ale bojovalo nanajvýš o stred ligovej tabuľky. Preto sa pred štartom sezóny 2014/15 rozhodol nepredĺžiť zmluvu a vybrať sa na renomovanejšiu adresu menom PSV Eindhoven s vedomím, že bude hrať len druhé husle.
Jasnou jednotkou tímu bol Jeroen Zoet. Napriek tomu niekoľko šancí dostal. V podstate bez väčšej odozvy verejnosti debutoval v Lige majstrov aj v Európskej lige. Paradoxne si zároveň pripísal takisto štrnásť štartov za rezervný tím v druhej najvyššej súťaži. V milionárskej súťaži chytal premiérovo v roku 2016 pri tesnej prehre 1:2 s Bayernom.
Vysedávania na lavičke bolo pre Pasveera po troch rokoch tak akurát. Prijal ponuku od Vitesse. Mladému tímu priniesol potrebné skúsenosti. Po prvom náročnom roku dostal na rukáv kapitánsku pásku. Stal sa miláčikom fanúšikov, ktorí ho vyhlásili za najlepšieho hráča sezóny 2019/20.
Mal už 37 rokov, keď v apríli 2021 podpisoval kontrakt s Ajaxom Amsterdam. Podmienky boli jasné, bude tretím brankárom a mentorom pre mladších spoluhráčov. Všetko nasvedčovalo tomu, že sa s kariérou onedlho rozlúči bez fanfár v najväčšom holandskom klube.
Keď to najmenej čakal, príbeh rodáka z Enschede nabral obrat o 180 stupňov. Osud to chcel inak. Brankárska jednotka Ajaxu André Onana dostal za doping, po tom ako si pomýlil liek, zákaz na deväť mesiacov a dvojka Maarten Stekelenburg utrpela zranenie slabín. Na začiatku ročníka 2021/22 tak musel tréner Erik Ten Hag siahnuť práve po Pasveerovi.
Stal sa prvou voľbou a odchytal všetky zápasy v sezóne. Počas 28 kôl Eredivisie až 20-krát udržal čisté konto a výrazne prispel k zisku majstrovského titulu pre Ajax.
Okrem toho sa stal prvým gólmanom, ktorý v jednom stretnutí chytil tri strely od Erlinga Haalanda. Stalo sa to 19. októbra 2021 počas zápasu skupinovej fázy Ligy majstrov, v ktorom Ajax čelil Borussii Dortmund, pričom vyhral 4:0.
Tieto výkony neunikli pozornosti reprezentačného trénera van Gaala a ten ho iba v septembri tohto roku nominoval na zápasy Ligy národov proti Belgicku a Poľsku. Odchytal oba zápasy, zakaždým udržal čisté konto a po zisku šiestich bodov sa "Oranjes" dostali do najlepšej štvorky turnaja.
Pasveer sa zároveň stal druhým najstarším hráčom, ktorý debutoval v národnom tíme Holandska. Starší bol iba jeho bývalý spoluhráč z Twente Sander Boschker, ktorému sa to podarilo ako 39-ročnému. Predtým síce Pasveer obliekol dres národného mužstva, ale len v kategórii do 21 rokov na zlatom európskom šampionáte v Portugalsku 2006.
Keďže sa do konečnej nominácie na MS v Katare nedostal Jasper Cillessen, očakáva sa, že práve Pasveer bude jednotkou tímu. Chrbát mu majú kryť Justin Bijlow z Feyenoordu, ktorý má na konte šesť reprezentančných štartov a Andries Noppert, chytajúci za Heerenveen. 28-ročný gólman sa ešte na ihrisku neobjavil.